Variable aléatoire

Définition

Variable aléatoire réelle sur $(\Omega,{\mathcal P}(\Omega))$ : application de $\Omega$ dans ${\Bbb R}$

(Fonction - Application, Univers)

On note $X$ une variable aléatoire

Ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire
Système complet d’évènements
Loi de probabilité

Types de variables aléatoires

Variable aléatoire discrète
Variables aléatoires indépendantes
Variable aléatoire certaine
Variable aléatoire indicatrice

Opérations sur les variables aléatoires

$$\sum_{k\in X(\Omega)}{\Bbb P}(X=k)={{1}}$$

Fonction d’une variable aléatoire

Propriétés

Indépendance

Définition :
Deux v.a. Discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si $$\forall A,B\subset{\Bbb R},\qquad P(X\in A\text{ et }Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)$$

Définition :
Les v.a. Discrètes $X_1,\ldots,X_m$ définies sur $(\Omega,{\mathcal F},P)$ sont indépendantes si les événements $\{X_1\in A_1\},\{X_2\in A_2\},\ldots,\{X_m\in A_m\}$ sont indépendantes pour toutes parties $A_1,\ldots,A_m$ de ${\Bbb R}$

Définition :
On dit que la famille $(X_i)_{i\in{\Bbb N}}$ de v.a. Discrètes est indépendante si toute sous-famille finie est formée de v.a. Indépendantes

Proposition :
Les v.a. Discrètes $X_1,\ldots,X_m$ sont indépendantes si $$\forall x_1\in X_1(\Omega)\ldots\forall x_m\in X_m(\Omega),\qquad P(X_1=x_1,\ldots,X_m=x_m)=\prod^m_{i=1}P(X_i=x_i)$$

(Evènements indépendants)

Indépendance et composition

Si $X_1,\ldots,X_m$ sont des v.a. Discrètes indépendantes et si $f_1,\ldots,f_m$ sont des applications définies respectivement sur sur $X_1(\Omega),\ldots,X_m(\Omega)$, alors $f_1(X_1),\ldots,f_m(X_m)$ sont indépendantes en notant : $$f_i(X_i)=f_i\circ X_i:\begin{align}\Omega\overset{X_i}\longrightarrow&X(\Omega)\overset{f_i}\longrightarrow{\Bbb R}\\ \omega\longmapsto&X_i(\omega)\longmapsto f_i(X_i(\omega))\end{align}$$

Consigne: Si $X_1,\ldots,X_m$ sont des v.a. Discrètes indépendantes et si $f_1,\ldots,f_m$ sont des applications définies respectivement sur sur $X_1(\Omega),\ldots,X_m(\Omega)$, alors $f_1(X_1),\ldots,f_m(X_m)$ sont indépendantes en notant : $$f_i(X_i)=f_i\circ X_i:\begin{align}\Omega\overset{X_i}\longrightarrow&X_i(\Omega)\overset{f_i}\longrightarrow{\Bbb R}\\ \omega\longmapsto&X_i(\omega)\longmapsto f_i(X_i(\omega))\end{align}$$
Montrer que les $f_i(X_i)$ sont indépendantes (par exemple pour deux v.a.)

Calcul de la probabilité de l'intersection $\to$ on va chercher tous les antécédents
Soient $V=f(X)$ et $W=g(Y)$, avec $X,Y$ indépendantes
$\forall v\in V(\Omega),\forall w\in W(\Omega)$, on a : $$P(V=v,W=w)=\underset{f(x_i)=v}{\sum_{x_i\in X(\Omega)}}\underset{g(y_j)=w}{\sum_{y\in X(\Omega)}}P(X=x_i,Y=y_j)$$

Retrouver le produit des probabilités avec des opérations sur la somme

Et puisque $X$ et $Y$ sont indépendants : $$\begin{align} P(V=v,W=w)&=\underset{f(x_i)=v}{\sum_{x_i\in X(\Omega)}}\underset{g(y_j)=w}{\sum_{y\in X(\Omega)}}P(X=x_i)P(Y=y_j)\\ &=\underbrace{\underset{f(x_i)=v}{\sum_{x_i\in X(\Omega)}}P(X=x_i)}_{P(f(X)=v)=P(V=v)}\underbrace{\underset{g(y_j)=w}{\sum_{y\in X(\Omega)}}P(Y=y_j)}_{P(g(Y)=w)=P(W=w)}\end{align}$$
Donc $V$ et $W$ sont indépendantes

Intégrabilité

Définition :
Une variable aléatoire discrète est intégrable si $$\underbrace{\sum_{x_k\in X(\Omega)}\lvert x_k\rvert P(X=x_k)}_{\text{existe toujours dans }{\Bbb R}_+\cup\{+\infty\} }\lt +\infty$$

(//Famille sommable - Fonction sommable)

Math'φsics